Trigonometri – sin, cos och tan med räknare och övningar

Trigonometri är den del av matematiken som kopplar ihop vinklar och sidor i trianglar. I en rätvinklig triangel använder du sinus, cosinus och tangens för att räkna ut en sida eller en vinkel som du inte vet. Ordet kommer från grekiskans trigonon, triangel, och metron, mått.

Här går vi igenom formlerna, hur du räknar steg för steg och vad du ska tänka på med miniräknaren. Längst ner finns övningar med lösningar. Vill du räkna direkt kan du fylla i två värden i räknaren nedan. Den räknar ut resten och visar hur du gör.

Sidorna i en rätvinklig triangel

En rätvinklig triangel har en vinkel på 90 grader. Den längsta sidan ligger mitt emot den räta vinkeln och kallas hypotenusa. De två kortare sidorna kallas kateter.

I trigonometri får kateterna namn efter den vinkel du räknar med. Här kallar vi den vinkeln v.

• Hypotenusa: den längsta sidan, mitt emot den räta vinkeln.
• Motstående katet: kateten som ligger mitt emot vinkeln v.
• Närliggande katet: kateten som ligger intill vinkeln v.

Byter du till den andra spetsiga vinkeln byter kateterna namn med varandra. Det är lätt att glömma, så skriv ut namnen på sidorna varje gång du räknar.

Sin, cos och tan – formlerna

Sinus, cosinus och tangens är tre kvoter mellan sidorna i en rätvinklig triangel. Man skriver dem kort som sin, cos och tan.

Värdet beror bara på vinkeln, inte på hur stor triangeln är. Sinus för 30° är alltid 0,5, oavsett om triangeln ryms i ditt räknehäfte eller är stor som ett hus.

Ett samband till är bra att kunna: tan v = sin v / cos v. Det gäller eftersom hypotenusan förkortas bort när du delar sinus med cosinus.

Minnesregeln SOH CAH TOA

Många lär sig formlerna med den engelska minnesregeln SOH CAH TOA. Opposite betyder motstående och adjacent betyder närliggande.

Minnes­ord	Engelska ord	Formel
SOH	Sine, Oppo­site, Hypo­tenuse	sin v = mot­stående / hypo­tenusa
CAH	Cosine, Adjacent, Hypo­tenuse	cos v = när­liggande / hypo­tenusa
TOA	Tangent, Oppo­site, Adjacent	tan v = mot­stående / när­liggande

Varför fungerar det?

Det enklaste sättet att förstå sin och cos är enhetscirkeln. Det är en cirkel med radien 1 och medelpunkten i origo.

Dra en sträcka från origo ut till cirkeln, så att den bildar vinkeln v mot x-axeln. Dra sedan en lodrät linje ner till x-axeln. Då får du en rätvinklig triangel där hypotenusan är exakt 1.

I den triangeln blir formlerna extra enkla. Sinus är motstående katet delat med 1, alltså bara höjden. Cosinus är närliggande katet delat med 1, alltså bara bredden. Punkten på cirkeln har därför koordinaterna (cos v, sin v). Vid 30° ligger punkten på höjden 0,5, och därför är sin 30° = 0,5.

Ta nu en rätvinklig triangel med samma vinkel v men med hypotenusan c. Vinkelsumman i en triangel är 180°, så den tredje vinkeln blir 90° − v i båda trianglarna. Är två vinklar lika stora blir alltså den tredje det också. Därför är trianglarna likformiga, och din triangel är bara c gånger så stor. Den motstående kateten blir c · sin v och den närliggande c · cos v. Kvoten mellan två sidor blir alltså densamma, hur stor triangeln än är.

Det är vinkeln v som avgör formen, inte att triangeln är rätvinklig. Två rätvinkliga trianglar är bara likformiga om de också har samma v. En triangel med vinklarna 90°, 45° och 45° har en annan form än en med 90°, 60° och 30°. Därför är sin 45° ≈ 0,707 medan sin 30° = 0,5. Men alla trianglar med samma v har samma sin v, och det är därför miniräknaren kan ge dig värdet utan att veta hur stor din triangel är.

Så räknar du ut en sida med trigonometri

Du räknar med trigonometri genom att välja den formel som innehåller sidan du söker och en sida du redan vet. Gör så här:

1. Rita triangeln och markera den räta vinkeln.
2. Markera vinkeln v som du känner till.
3. Skriv ut vilken sida som är hypotenusa, motstående katet och närliggande katet.
4. Välj den formel som innehåller den kända sidan och den du söker.
5. Sätt in värdena och lös ut den okända sidan.
6. Räkna med miniräknaren inställd på grader och kontrollera att svaret är rimligt.

Fastnar du på uppgifter som den här kan en studybuddy räkna dem tillsammans med dig, via vår mattehjälp på gymnasiet.

När den okända sidan hamnar i nämnaren

Ibland söker du en sida som hamnar under bråkstrecket, oftast hypotenusan. Då ska du dela i stället för att multiplicera.

Säg att den närliggande kateten är 12 cm och att v = 40°. Du söker hypotenusan c. Ställ upp cos 40° = 12 / c. Multiplicera båda sidor med c så får du c · cos 40° = 12. Dela sedan med cos 40°: c = 12 / cos 40° ≈ 12 / 0,7660 ≈ 15,7 cm.

Hypotenusan blev längre än kateten, precis som den ska. Får du en hypotenusa som är kortare än en katet har du troligen multiplicerat i stället för att dela.

Så räknar du ut en vinkel

Vet du två sidor kan du räkna ut vinkeln. Då använder du formeln baklänges, med de omvända funktionerna sin⁻¹, cos⁻¹ och tan⁻¹. De kallas också arcsin, arccos och arctan.

Säg att den motstående kateten är 5 cm och den närliggande är 7 cm. Formeln med de två kateterna är tangens, så tan v = 5/7 ≈ 0,714. Vinkeln blir v = tan⁻¹(5/7) ≈ 35,5°.

På de flesta miniräknare trycker du SHIFT eller 2nd och sedan tan. Skriv 5/7 inom parentes och tryck lika med. Får du ungefär 35,54 står miniräknaren rätt.

Den andra spetsiga vinkeln får du utan trigonometri. Vinklarna i en triangel är 180° tillsammans och den räta vinkeln är 90°. Därför är den andra vinkeln 90° − 35,5° = 54,5°.

Tänk på att sin⁻¹ inte betyder 1 delat med sin. Det är en egen funktion som går åt andra hållet, från en kvot till en vinkel.

När du först behöver Pythagoras sats

Vet du två sidor i samma rätvinkliga triangel som vinkeln kan du räkna ut vinkeln direkt. Välj bara den funktion som passar de två sidorna. Men i många uppgifter saknas en av sidorna du behöver, för att den ligger i en annan del av figuren. Då räknar du först ut den sidan med Pythagoras sats och sedan vinkeln med trigonometri.

Exakta värden för 30°, 45° och 60°

Sinus för 30 grader är exakt 0,5. Det beror på att en triangel med vinklarna 30°, 60° och 90° är en halv liksidig triangel. Den kortaste sidan blir då hälften så lång som hypotenusan.

Några vinklar har exakta värden som du kan använda på prov utan miniräknare:

Vinkel v	sin v	cos v	tan v
0°	0	1	0
30°	1/2 = 0,5	√3/2 ≈ 0,866	1/√3 ≈ 0,577
45°	1/√2 ≈ 0,707	1/√2 ≈ 0,707	1
60°	√3/2 ≈ 0,866	1/2 = 0,5	√3 ≈ 1,732
90°	1	0	Inte defi­nierad

1/√2 skrivs ibland √2/2 och 1/√3 skrivs √3/3. Det är samma tal. Lägg märke till mönstret. Sin 30° är lika med cos 60°, och sin 60° är lika med cos 30°. Sinus för en vinkel är alltid cosinus för den andra spetsiga vinkeln. Värdena för 0° och 90° ser du i enhetscirkeln. Vid 0° ligger punkten i (1, 0) och vid 90° i (0, 1). Tan 90° går inte att räkna ut. Tangens är kvoten sin v / cos v, och eftersom cos 90° = 0 skulle det bli en division med 0, som inte är tillåten.

Grader eller radianer på miniräknaren

Ett av de vanligaste felen är att miniräknaren står på fel enhet för vinklar. I gymnasiets första kurser räknar du i grader. Miniräknaren ska då stå på DEG, inte på RAD.

Ett bra test är cos 1. I grader blir cos 1° ≈ 0,9998. I radianer blir cos 1 ≈ 0,5403. Det är två helt olika vinklar, eftersom 1 radian är ungefär 57,3 grader.

Samma sak gäller när du räknar i Google. Skriver du cos 1 i sökrutan räknar Google i radianer, så byt till Deg i räknaren som visas. På mobilen hittar du sin, cos och tan i räknarens vetenskapliga läge, som ofta dyker upp när du vrider mobilen till liggande läge.

Vanliga misstag

• Du byter vinkel men inte namn på kateterna. Vilken katet som är motstående beror på vinkeln du räknar med.
• Miniräknaren står på RAD. Då blir svaren fel, men de kan ändå se rimliga ut.
• Du tror att sin⁻¹ betyder 1 delat med sin. Det är en egen knapp som ger dig vinkeln.
• Du multiplicerar när den okända sidan står i nämnaren. Då ska du dela.
• Du avrundar för tidigt. Spara mellansvaren i miniräknaren och avrunda först i slutet.
• Du använder formlerna med hypotenusa och kateter i en triangel som inte är rätvinklig. Där finns ingen hypotenusa, så då behövs sinussatsen eller cosinussatsen.

En snabb kontroll hjälper mot de flesta fel. Hypotenusan ska vara längst, och sin och cos för de spetsiga vinklarna ska ligga mellan 0 och 1.

Var används trigonometri?

Trigonometri används när något är svårt att mäta direkt. Snickare räknar ut lutningen på tak och trappor, och lantmätare mäter avstånd i terrängen. I datorspel används sin och cos för att få saker att snurra och röra sig i cirklar.

Övningar med lösningar

Gör övningarna med papper, penna och miniräknare. Titta på lösningen först när du har ett eget svar, och kontrollera gärna med räknaren högst upp. Vill du hellre räkna med någon bredvid dig finns mattehjälp i Stockholm hemma vid köksbordet, och läxhjälp online var du än bor.

Övning 1. En rätvinklig triangel har sidorna 6 cm, 8 cm och 10 cm. Vinkeln v ligger mitt emot sidan 6 cm. Ange sin v, cos v och tan v.

Visa lösning

Hypotenusan är den längsta sidan, 10 cm. Den motstående kateten till v är 6 cm och den närliggande är 8 cm.

sin v = 6/10 = 0,6

cos v = 8/10 = 0,8

tan v = 6/8 = 0,75

Övning 2. Hypotenusan är 10 cm och vinkeln v är 30°. Hur lång är den motstående kateten? Lös utan miniräknare.

Visa lösning

Du vet hypotenusan och söker den motstående kateten, så du använder sinus.

sin 30° = a / 10

a = 10 · sin 30° = 10 · 0,5 = 5

Svar: Den motstående kateten är 5 cm.

Övning 3. Den närliggande kateten är 6 cm och vinkeln v är 50°. Hur lång är den motstående kateten?

Visa lösning

Du vet den närliggande kateten och söker den motstående. Formeln med båda kateterna är tangens.

tan 50° = a / 6

a = 6 · tan 50° ≈ 6 · 1,192 ≈ 7,2

Svar: Den motstående kateten är ungefär 7,2 cm. Att tan 50° är större än 1 betyder att den motstående kateten är längre än den närliggande.

Övning 4. Den motstående kateten är 4 cm och vinkeln v är 25°. Hur lång är hypotenusan?

Visa lösning

Du vet den motstående kateten och söker hypotenusan, så du använder sinus. Här hamnar den okända sidan i nämnaren.

sin 25° = 4 / c

c · sin 25° = 4

c = 4 / sin 25° ≈ 4 / 0,4226 ≈ 9,5

Svar: Hypotenusan är ungefär 9,5 cm.

Övning 5. Kateterna i en rätvinklig triangel är 5 cm och 12 cm. Hur stor är vinkeln mitt emot kateten som är 5 cm? Hur stor är den andra spetsiga vinkeln?

Visa lösning

Den motstående kateten är 5 cm och den närliggande är 12 cm. Då använder du tangens.

tan v = 5/12

v = tan⁻¹(5/12) ≈ 22,6°

Den andra spetsiga vinkeln är 90° − 22,6° = 67,4°.

Svar: Vinklarna är ungefär 22,6° och 67,4°.

Övning 6. En stege som är 5 meter lång lutar mot en vägg. Stegens fot står 1,5 meter från väggen. Vilken vinkel bildar stegen med marken, och hur högt upp på väggen når den?

Visa lösning

Stegen är hypotenusa. Avståndet till väggen är närliggande katet till vinkeln vid marken. Då passar cosinus.

cos v = 1,5 / 5 = 0,3

v = cos⁻¹(0,3) ≈ 72,5°

Höjden är den motstående kateten. Du kan räkna ut den med sinus eller med Pythagoras sats.

h = 5 · sin 72,5° ≈ 4,77

Svar: Stegen bildar vinkeln 72,5° med marken och når ungefär 4,77 meter upp.

Övning 7. En vinkel i en rätvinklig triangel är 60°, och kateten intill vinkeln är 4 cm. Bestäm hypotenusan exakt, utan miniräknare.

Visa lösning

Kateten intill vinkeln är den närliggande, och du söker hypotenusan. Då använder du cosinus. Från tabellen vet du att cos 60° = 1/2.

cos 60° = 4 / c

c = 4 / cos 60° = 4 / 0,5 = 8

Svar: Hypotenusan är 8 cm.

Trigonometri eller Pythagoras sats?

Både trigonometri och Pythagoras sats gäller för rätvinkliga trianglar. Skillnaden är om en vinkel är med i uppgiften eller inte.

Du vet	Du söker	Använd
Två sidor	Den tredje sidan	Pytha­goras sats
En sida och en vinkel	En annan sida	sin, cos eller tan
Två sidor	En vinkel	sin⁻¹, cos⁻¹ eller tan⁻¹
Bara vinklar	En sida	Går inte, du behöver minst en sida

Är triangeln inte rätvinklig fungerar varken Pythagoras sats eller formlerna ovan. Då använder du sinussatsen och cosinussatsen, som kommer senare i gymnasiet.

När läser man trigonometri?

Trigonometri i rätvinkliga trianglar kommer i matematik nivå 1c på gymnasiet, det som tidigare hette Matte 1c. Den nivån läser du till exempel på natur- och teknikprogrammet. På program med b-nivåerna, som samhällsprogrammet, ingår trigonometri vanligtvis inte. I matematik – fortsättning nivå 1c, tidigare Matte 3c, bygger du vidare med enhetscirkeln, sinussatsen och cosinussatsen. Radianer och derivator av sin och cos kommer i fortsättning nivå 2, tidigare Matte 4.

Grunderna kommer alltså tillbaka i varje ny kurs. Därför lönar det sig att förstå dem ordentligt från början. Känns det tungt redan nu kan läxhjälp för gymnasieelever hjälpa dig att komma ikapp innan nästa kurs bygger vidare.

Vanliga frågor om trigonometri

Vad betyder trigonometri?

Trigonometri betyder ungefär triangelmätning. Ordet kommer från grekiskans trigonon, triangel, och metron, mått. Det är den del av matematiken som handlar om hur vinklar och sidor i trianglar hänger ihop.

Vad är skillnaden på geometri och trigonometri?

Geometri handlar om former, storlekar och vinklar i allmänhet, till exempel area, omkrets och volym. Trigonometri växte fram ur geometrin och handlar om hur vinklar och sidlängder hänger ihop, med hjälp av sinus, cosinus och tangens.

Vad menas med sinus?

Sinus för en vinkel är kvoten mellan den motstående kateten och hypotenusan i en rätvinklig triangel. För vinklar mellan 0° och 90° ligger sinus mellan 0 och 1, eftersom hypotenusan är den längsta sidan.

Hur beräknar man sinus?

Dela den motstående kateten med hypotenusan. Är sidorna 3 och 5 blir sin v = 3/5 = 0,6. Vet du bara vinkeln skriver du sin och vinkeln på miniräknaren, till exempel sin 30 = 0,5. Se till att den står på grader.

Vad är sinus för 30 grader?

Sin 30° = 0,5, alltså en halv. Det betyder att den motstående kateten är hälften så lång som hypotenusan när vinkeln är 30°.

Hur räknar man ut en vinkel i en triangel?

I en rätvinklig triangel väljer du den formel för sin, cos eller tan som innehåller de två sidor du vet. Räkna ut kvoten och använd sedan sin⁻¹, cos⁻¹ eller tan⁻¹ på miniräknaren. I alla trianglar är vinklarna 180° tillsammans. Vet du två vinklar får du alltså den tredje genom att dra bort dem från 180°.